Геометрія Лобачевського

Збереглися студентські записи лекцій Лобачевського (від 1817 року), де ним робилася спроба довести п’ятий постулат Евкліда, але в рукописі підручника«Геометрія» (1823) він вже відмовився від цієї спроби. У«Оглядах викладання чистої математики» за 1822/23 і 1824/25 Лобачевський вказав на «до цих пір непереможну» важкість проблеми паралелізму та на необхідність приймати в геометрії в якості  вихідних понять, безпосередньо взятих з природи. 7 лютого 1826 року Лобачевський представив для друку в Записках фізико-математичного відділення твір: «Стислий виклад початків геометрії зі строгим доведенням теореми про паралельні» (французькою мовою). Але видання не здійснилося. Рукопис та відгуки не збереглися, проте сам твір було включено Лобачевським в його працю «Про початки геометрії» (1829-1830), надрукований у журналі«Казанський вісник». Цей твір став першою в світовійлітературі серйозною публікацією з неевклідової геометрії, чи геометрії Лобачевського.

Лобачевський вважає аксіому паралельності Евкліда довільним обмеженням. З його точки зору, ця вимога занадто жорстка, обмежуюча можливості теорії, що описує властивості простору. В якості альтернативи пропонує іншу аксіому: на площині через точку, яка не лежить на даній прямій, проходить більше ніж одна пряма, не перетинає дану. Розроблена Лобачевським нова геометрія не включає в себе евклідову геометрію, проте евклідова геометрія може бути з неї отримана граничним переходом (при прямуванні кривизни простору до нуля). У самій геометрії Лобачевського кривизна від’ємна. Вже в першій публікації Лобачевський детально розробив тригонометрію неевклідового простору, диференціальну геометрію (включаючи обчислення довжин, площ і об’ємів) і суміжні аналітичні питання.

Проте наукові ідеї Лобачевського не були зрозумілими для сучасників. Його праця «Про початки геометрії»,представлена в 1832 році радою університету в Академію наук, отримала у М. В. Остроградського негативну оцінку. У іронічно-уїдливому відгуку на книгу Остроградський відверто зізнався, що він нічого в ній не зрозумів, крім двох інтегралів, один з яких, на його думку, обчислений невірно (насправді помилився сам Остроградський). Серед інших колег також майже ніхто Лобачевського не підтримує, зростають нерозуміння та глузливі насмішки.

Вінцем цькування став знущальний анонімний пасквіль, що з’явився в журналі Ф. Булгаріна «Син вітчизни» у 1834 році: “Для чого ж писати, та ще й друкувати, такі безглузді фантазії? Як можна подумати, щоб пан Лобачевський, ординарний професор математики, написав з якою-небудь серйозною метою книгу, яка трохи б принесла честі і останньому шкільному вчителю? Якщо не вченість, то принаймні здоровий глузд повинен мати кожен вчитель, а в новій геометрії нерідко невистачає і цього останнього. Нова геометрія написана так, що ніхто з читачів її майже нічого не зрозумів.”

Судячи зі змісту цієї замітки, її писала людина з математичною освітою, найімовірніше, хтось з оточення Остроградського (в статті містяться ті ж необгрунтовані критичні зауваження, що і у відгуку Остроградського). Ступінь участі в намірі самого Остроградського історикам з’ясувати не вдалося.

Спроба Лобачевського надрукувати в тому ж журналі відповідь на пасквіль була проігнорована редакцією. Незважаючи на ускладнення, Лобачевський, впевнений у своїй правоті, продовжував роботу. У 1835-1838 він опублікував у «Вчених записках» статті про «уявну геометрію», а потім вийшла найбільш повна з його праць«Нові початки геометрії з повною теорією паралельних».

Не знайшовши розуміння на Батьківщині, він намагається знайти однодумців за кордоном. У 1837 р. стаття Лобачевського «Уявна геометрія» французькою мовою з’явилася в авторитетному берлінському журналі Крелл, а в 1840 році Лобачевський опублікував німецькою мовою невелику книгу «Геометричні дослідження з теорії паралельних», де міститься чіткий і систематичний виклад його основних ідей. Два примірники отримав Карл Фрідріх Гаус, «король математиків» тих часів.

Як згодом з’ясувалося, Гаус і сам потайки розвивав неевклідову геометрію, проте так і не наважився опублікувати що-небудь на цю тему. Ознайомившись з результатами Лобачевського, він захоплено відгукнувся про них, але лише у своїх щоденниках і в листах близьким друзям. Гаус висловив свою симпатію до ідей вченого: рекомендував обрати Лобачевського іноземним членом-кореспондентом Геттінгенського королівського суспільства як «одного з пречудових математиків російської держави». Гаус також почав вивчати російську мову, щоб ознайомитися з деталями відкриттів казанського геометра. Обрання Лобачевського відбулося у 1842 році і стало єдиним прижиттєвим визнанням наукових заслуг Лобачевського. Проте положення Лобачевського воно не зміцнило, йому залишилося працювати в рідному університеті ще чотири роки. Його нова стаття (рішення деяких проблем аналізу) знову отримує різко негативний відгук Остроградського (1842).

Як з’ясували історики науки, угорський математик Янош Бояї незалежно від Лобачевського у 1832 році опублікував свій опис неевклідової геометрії. Але і його роботи не привернули уваги сучасників.

Лобачевський помер невизнаним. Через кілька десятиріч ситуація в науці докорінно змінилася. Велику роль у визнанні праць Лобачевського відіграли дослідження Е. Бельтрамі (1868), Ф. Клейна (1871), А. Пуанкаре (1883) і ін. Поява моделі Клейна довела, що геометрія Лобачевського такаж несуперечлива, як і евклідова. Усвідомлення того, що у евклідової геометрії є повноцінна альтернатива, справило велике враження на науковий світ і надало імпульс іншим новаторським ідеям в математиці й фізиці.